Proposisi

1. Pernyataan (Proposisi)
Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S).
Kalimat tanya atau kalimat perintah tidak dianggap sebagai pernyataan.
Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :
a. 1 + 2 = 3
b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY
c. 6 adalah bilangan prima
d. Warna bendera RI adalah biru dan merah
Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.
Kalimat-kalimat berikut bukan pernyataan :
1. x + 2 = 10.
2. Minumlah sirup ini dua kali sehari.
3. Alangkah cantiknya gadis itu!
2. Mengkombinasikan Proposisi
Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak(not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operatoruner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The Laws of  Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Negasi:
Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B/S, maka negasinya ditulis sebagai, ~p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.
Berikut ini adalah contoh negasi :
p : Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.
~p : Tidak benar Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera    Selatan.
atau
Palembang bukan ibukota propinsi Sumatera Selatan.
Di sini ~p salah karena p benar.
Tabel Kebenaran Dari Negasi :

p	~p
B	S
S	B

Konjungsi:
Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, pΛq, adalah sebuah proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.
Berikut ini adalah contoh konjungsi :
p : Hari ini hari Sabtu.
q : Matahari bersinar cerah.
pΛq : Hari ini hari Sabtu dan matahari berinar cerah.
Tabel Kebenaran Dari Konjungsi :

p	q	p Λ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Disjungsi:
Disjungsi p dan q dinyatakan dengan, p vq, adalah proposisi yang bernilai salah jikaproposisi p dan q keduanya bernilai salah.
Berikut ini adalah contoh disjungsi :
p : Hari ini hari Sabtu.
q : Matahari bersinar cerah.
p vq : Hari ini hari Sabtu atau matahari berinar cerah.
Tabel Kebenaran Dari Disjungsi :

p	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

3. Hukum-hukum Logika Proposisi
Dalam logika proposisi terdapat beberapa hukum atau sifat operasinya,yakni:
1. Hukum Identitas
(i)  p  v   F  ↔ p
(ii) p  Λ   T  ↔ p
2. Hukum null/Dominasi
(i) p  Λ   F  ↔  F
(ii) p  v  T  ↔  T
3. Hukum Negasi
(i)  p  v  ~p  ↔ T
(ii) p  Λ   ~p  ↔ F
4. Hukum idempoten
(i)  p  v  p  ↔ p
(ii) p  Λ   p   ↔ p
5. Hukum Involusi(negasi ganda)
(i)  ~ (~p)  ↔ p
6. Hukum Penyerapan (absorpsi)
(i)  p  v  (p Λ q) ↔ p
(ii) p  Λ  (p v q) ↔ p
7. Hukum komutatif
(i)  p  v  q  ↔ q  v  p
(ii) p  Λ  q   ↔ q Λ  p
8. Hukum assosiatif
(i)  p v (q v r) ↔ (p v q) v r
(ii) p Λ (q Λ r ) ↔ (p Λ q)  Λ  r
9. Hukum Distributif
(i)  p v (q Λ r) ↔ (p v q) Λ (p v r)
(ii) p Λ (q v r ) ↔ (p Λ q)  v  (p Λ r)
10. Hukum De Morgan
(i)  ~(p Λ q) ↔ ~p v ~q
(ii) ~(p v q) ↔ ~p Λ ~q
4. Tabel Kebenaran
Sebenarnya tabel kebenaran ini sudah saya bahas di atas. Pada bagian ini saya hanya ingin mengulangnya dan menjadikannya menjadi satu agar mudah untuk dibaca dan dipahami.

p	q	~p	p Λ q	p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	S

Logika proposisi tidak bisa menggambarkan sebagian besar proposisi dalam matematika dan ilmu komputer. Sebagai ilustrasi, perhatikan pernyataan berikut:
p : n adalah bilangan ganjil.
Pernyataan p bukan sebuah proposisi karena nilai kebenaran p bergantung pada nilai kebenaran n. Sebagai contoh, p benar jika n=103 dan salah jika n=8. Karena kebanyakan pernyataan dalam matematika dan ilmu komputer menggunakan peubah(variabel), maka kita harus mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan tersebut.