Logika Matematika adalah salah satu materi pokok yang
diajarkan di sekolah dan universitas. Pada pembahasan kali ini, saya akan
mencoba membahas materi Logika matematika ini dengan cara semudah-mudahnya.
Untuk mempermudah Anda, saya sudah menyertakan contoh-contohnya.
Saya pribadi mendapat materi Logika Matematika pada saat
kelas X dan di kampus pada semester 1. Tapi ketika saya membaca buku matematika
kurikulum 2013, kelihatannya materi ini sudah dihapus dan tidak akan diajarkan
lagi di sekolah. Entah itu saya yang belum cermat membaca atau memang tidak
ada. Saya juga tidak tahu alasan mengapa materi ini dihapus. Padahal menurut
dosen saya, mata kuliah pada semester awal adalah pondasi untuk belajar di
semester selanjutnya, sedangkan materi ini diajarkan di semester 1. Dari sana
saja bisa dilihat betapa pentingnya peran Logika Matematika untuk memahami
materi selanjutnya. Tapi kok dihapus??? Apa mungkin karena materi ini terlalu
mudah??? I don't know.
Pengertian Logika
Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani,
yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa
juga ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, Logika adalah sebuah metode dan
prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang tepat
dengan penalaran yang tidak tepat.
Jika kita membahas logika, kita akan berkenalan dengan
penalaran. Penalaran merupakan penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan
antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu
yang sudah diakui kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir
dengan sebuah kesimpulan. Dengan kata lain, penalaran dapat diartikan sebagai
penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen.
Dalam Logika, kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah
penalaran yang telah kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berpikir
dengan tepat, Logika menawarkan sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus
diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat.
Orang yang pertama kali merintis dan mempelopori Logika
adalah Aristoteles,
seorang filsafat Yunani yang hidup pada 348-322 SM. Ia mengobservasi dan
mencatat hukum-hukum dari logika formal, yaitu logika yang kesahihan dari
langkah-langkahnya dipandang hanya berdasarkan bentuk dari rangakaian
langkah-langkah itu dan tidak bergantung pada materi persoalan sehingga berlaku
baik di ilmu alam, ilmu kimia, maupun ilmu-ilmu lain serta dalam kehidupan
sehari-hari.
Sebagai contoh:
Premis 1 : Semua a adalah b
Premis 2 : Semua b adalah c
Kesimpulan : Semua a adalah c
Langkah di atas menghasilkan sebuah kesimpulan yang tidak
tergantung pada isi a, b dan c.
Dengan mempelajari Logika ini diharapkan kita mempunyai pola
berpikir yang tepat, akurat, rasional, kritis dan obyektif. Selain itu, dengan
mempelajari prinsip-prinsip Logika, ini juga akan membantu kita untuk menjadi
lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam penalaran, baik
penalaran yang dilakukan orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri sendiri.
Seseorang yang dapat mengenal dan menghindari kesalahan logika dalam penalaran
akan dapat berpikir yang jelas dan tepat, lebih baik dan lebih yakin, apapun
yang mungkin merupakan pokok persoalan yang akan dihadapi.
Himpunan Semesta Pembicaraan
Kok ada himpunan semesta pembicaraan sih? Bukannya kita
sekarang sedang belajar Logika Matematika? Mungkin ada diantara kalian bertanya
seperti itu. Mungkin pada materi di sekolah, hal ini kurang mendapat perhatian.
Karena ketika kita sedang membicarakan matematika, maka kita harus menentukan
terlebih dahulu himpunan semestanya, apalagi untuk Logika Matematika. Sebab
benar atau salahnya suatu pernyataaan memang dapat tergantung pada semestanya
yang telah disepakati.
Sebagai contoh:
"Berapa x sehingga x + 2 = 12?"
Pasti kebanyakan kita akan menjawab x = 10.
Yap, benar. Anda tidak salah. Karena pikiran kita sudah
terbentuk bahwa semesta pembicaraannya adalah semua anggota himpunan bilangan
kompleks.
Tapi lain jawaban jika saya bertanya seperti ini,
"Berapa x sehingga x + 1 = 12, dengan x adalah anggota
bilangan asli kurang dari 5?"
Jika Anda tahu, silahkan isi jawaban dan alasannya di kolom
komentar.
Kalimat = Pernyataan?
Saya ada membaca tulisan di blog lain yang menulis bahwa
kalimat itu sama seperti pernyataan. Saya ingin menekankan di sini bahwa itu
adalah SALAH.
Tidak semua kalimat merupakan pernyataan, tetapi semua
pernyataan merupakan sebuah kalimat. Suatu kalimat yang mengandung nilai benar
ataupun salah, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang sama disebut kalimat
deklaratif (pernyataan). Kalimat yang tidak dapat dinyatakan sebagai pernyataan
dapat berupa kalimat perintah, pertanyaan, kalimat yang tidak jelas, atau
kalimat yang mempunyai arti ganda (ambigu).
Sebagai contoh:
Bilangan 7 adalah bilangan prima.
Provinsi DKI Jakarta berpenduduk 1 juta jiwa.
Ambilkan OHP di ruang guru!
Astaga!
2x + 3 > x -1
Dari contoh di atas, kalimat pertama dan kedua adalah contoh
pernyataan, dan kalimat lainnya merupakan kalimat biasa. Untuk kalimat kelima
tidak disebut sebagai sebuah pernyataan karena belum dapat ditentukan nilai
kebenarannya. Kalimat yang masih mengandung variabel bisa disebut sebagai
kalimat terbuka (bisa dimasukkan apa saja). Kalimat tersebut akan menjadi
sebuah pernyataan jika kita telah mengganti nilai x dengan suatu bilangan
tertentu. Saya kira sampai disini Anda sudah paham perbedaan kalimat dan
pernyataan.
Operasi pada Logika Matematika
Secara umum, operasi pada materi Logika matematika ada dua,
yaitu operasi uner dan operasi biner. Sesuai namanya, operasi uner (Monari)
adalah operasi yang hanya berhubungan dengan satu unsur, sedangkan operasi
biner (Binari) adalah operasi yang berhubungan dengan dua unsur. Operasi uner
dalam Logika Matematika hanya ada satu macam, yaitu operasi negasi, dan operasi
biner ada empat macam, yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi,
biimplikasi.
Operasi Negasi
Negasi biasa juga disebut dengan ingkaran. Nilai kebenaran
negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki
oleh sebuah pernyataan. Jika sebuah pernyataan itu bernilai benar, maka
negasinya adalah salah, dan begitu pula sebaliknya. Untuk menyatakan negasi, kita
bisa menggunakan kata "tidak".
Tabel Nilai Kebanaran Operasi Negasi
Sebagai contoh:
"Pohon ini tinggi"
Pohon ini tinggi bisa disimbolkan dengan p, negasinya bisa
disimbolkan dengan atau sehingga
pernyataan negasinya menjadi,
"Pohon ini tidak tinggi" atau bisa juga,
"Tidak benar bahwa pohon ini tinggi"
Operasi Konjungsi
Dalam Logika Matematika, jika dua pernyataan digabungkan
dengan kata penghubung "dan", maka ini disebut sebagai operasi
konjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah ""
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Konjungsi
Kesimpulan : Operasi konjungsi bernilai benar apabila kedua
pernyataan tersebut bernilai benar.
Sebagai contoh:
2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima
ganjil, bernilai benar
2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan
prima ganjil, bernilai salah
2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan
prima ganjil, bernilai salah
2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bukan
bilangan prima ganjil, bernilai salah
Operasi Disjungsi
Jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung
"atau", maka ini disebut sebagai operasi disjungsi. Simbol yang umum
digunakan untuk operasi ini adalah ""
Kata "atau" bisa mempunyai dua arti yang berbeda.
Jika pernyataan p v q mempunyai arti p atau q, tetapi tidak kedua-duanya,
seperti ini disebut disjungsi ekslusif. Sedangkan jika pernyataan p v q
mempunyai arti p atau q, atau kedua-duanya, ini disebut disjungsi inklusif
(Kalau saya untuk mempermudah menghapal ini saya ingat saja kata ekslusif yang
sama artinya dengan spesial / tak ada duanya).
Sebagai contoh:
Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di kota
Yogyakarta. (disjungsi ekslusif)
Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di
sebuah rumah sakit swasta. (disjungsi inklusif)
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Ekslusif
Kesimpulan : Operasi disjungsi ekslusif bernilai benar
apabila salah satu pernyataan bernilai benar, tapi tidak kedua-duanya.
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Inklusif
Kesimpulan : Operasi disjungsi inklusif bernilai benar
apabila salah satu pernyataan tersebut bernilai benar.
Catatan : Operasi disjungsi yang sering digunakan dalam
pelajaran Logika Matematika di sekolah adalah operasi disjungsi inklusif.
Sebagai contoh:
2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima,
bernilai benar
2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bukan bilangan prima,
tetap bernilai benar
2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima,
tetap bernilai benar
2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima,
baru bernilai salah
Operasi Implikasi
Jika dua pernyataan mengandung bentuk "jika ... maka
...", maka ini disebut sebagai operasi implikasi. Simbol yang umum
digunakan untuk menyatakan operasi ini adalah "".
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Implikasi
Kesimpulan : Operasi implikasi bernilai benar apabila
pernyataan kedua bernilai benar, atau kedua pernyataan tersebut bernilai sama.
Sebagai contoh:
Jika air habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
Jika air habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai salah
Jika air tidak habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
Jika air tidak habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai
benar
Contoh di atas saya rasa sudah cukup untuk menjawab
pertanyaan "Kenapa jika B maka S hasilnya S, sedangkan jika S maka B
hasilnya B?" Karena belum tentu penyebab manusia mati hanya karena air
habis, kan?
Operasi Biimplikasi
Jika dua pernyataan mengandung bentuk " ... jika dan
hanya jika ...", maka ini disebut sebagai operasi biimplikasi. Saya lebih
suka menyebut hubungan ini "persyaratan". Simbol yang umum digunakan
untuk operasi ini adalah "".
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Biimplikasi
Kesimpulan : Operasi biimplikasi bernilai benar apabila
kedua pernyataan tersebut bernilai sama.
Sebagai contoh:
Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, bernilai
benar
Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, ya
salah kan?
Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia hidup,
salah juga kan?
Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia tidak
hidup, baru benar
Syarat manusia hidup adalah jantung berdetak, dan syarat
jantung berdetak adalah manusia hidup. Kedua hal tersebut tidak dapat
dipisahkan satu sama lain. Inilah yang saya maksud dengan hubungan
"persyaratan".
Pernyataan Berkuantor
Seperti yang sudah dibahas, 2x + 3 > x -1 adalah kalimat
terbuka (yang mengandung variabel) dan bukan sebuah pernyataan. Untuk mengganti
kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah pernyataan, kita harus mengganti
variabel (x) yang ada dengan suatu nilai. Cara lainnya untuk mengganti kalimat
terbuka menjadi sebuah pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Kuantor
sendiri dibagi menjadi dua, yaitu kuantor umum (kuantor universal) dan kuantor
khusus (kuantor eksistensial).
Kuantor Umum (Kuantor Universal)
Untuk menyatakan kuantor universal, kita bisa menggunakan
ungkapan "Untuk setiap" atau "Untuk semua". Simbol yang
umum digunakan untuk menyatakan kuantor umum adalah A terbalik, "".
Sebagai contoh:
x > 0 merupakan kalimat terbuka.
Jika saya ganti menjadi "Untuk setiap x bilangan asli,
berlaku x positif (x >0)", apakah bisa kita menyatakan salah atau
benar? Bisa, bukan? Jawabannya adalah benar karena 1, 2, 3 dst itu selalu lebih
besar dari 0. Dan jika bisa ada nilai kebenarannya, maka ini disebut sebagai pernyataan.
Simbol matematikanya adalah
Untuk contoh pernyataan berkuantor universal yang bernilai
salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Untuk setiap
x bilangan asli, x > 2". Kenapa salah? Karena 1 adalah bilangan asli,
sedangkan 1 tidak lebih besar daripada 2. Jadi, tidak semua bilangan asli lebih
dari 2 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.
Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)
Untuk menyatakan kuantor khusus, kita bisa menggunakan
ungkapan "Ada", "Terdapat", "Paling sedikit
satu", atau "Beberapa". Simbol yang umum digunakan untuk
menyatakan kuantor khusus adalah E terbalik, ""
Sebagai contoh:
x > 1 merupakan kalimat terbuka
Jika saya ganti menjadi "Terdapat x bilangan asli
sedemikian sehingga x > 1", apakah bisa kita menyatakan salah atau
benar? Sekali lagi bisa. Dan jawabannya benar karena 2 > 1 sedangkan 2
adalah anggota bilangan asli. Jadi ini bisa disebut sebagai suatu pernyataan.
Simbol matematikanya adalah
Untuk contoh pernyataan berkuantor eksistensial yang
bernilai salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan,
"Terdapat x bilangan asli sedemikian rupa sehingga x < 1". Kenapa
salah? Karena tidak ada lagi bilangan asli yang lebih kecil dari 1. Jadi, tidak
terdapat bilangan asli yang kurang dari 1 dan dapat disimpulkan bahwa
pernyataan tersebut bernilai salah.
Negasi Pernyataan Berkuantor
Coba kita melihat pernyataan ini, "Semua manusia pasti
mati". Pernyataaan ini bernilai benar.
Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak semua manusia
pasti mati", ini sama artinya dengan "Terdapat manusia yang tidak
pasti mati". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat
menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.
Simbol Matematis Negasi Kuantor Universal
Sekarang coba lihat pernyataan ini, "Terdapat tinggi
badan manusia yang kurang dari 120 cm". Pernyataan ini bernilai benar.
Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak terdapat
tinggi badan manusia yang kurang dari 120 cm", ini sama artinya dengan
"Semua tinggi badan manusia lebih dari 120 cm". Dan pernyataan ini
bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat
sudah benar.
Simbol Matematis Negasi Kuantor Eksistensial
Kesimpulan: (1) Negasi universal = eksistensial; dan (2)
Negasi eksistensial = universal
Hukum komutatif
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
Hukum asosiatif
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧
r)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨
r)
Hukum distributif
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨
(p ∧
r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧
(p ∨
r)
Hukum identitas
p ∧ B ≡ p
p ∨ S ≡ p
Hukum ikatan
p ∧ S ≡ S
p ∨ B ≡ B
Hukum negasi
p ∧ ~p ≡ S
p ∨ ~p ≡ B
Hukum negasi ganda
~(~p) ≡ p
Hukum idempotent
p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p
Hukum De Morgan
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
Hukum penyerapan
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
Negasi B dan S
~B ≡ S
~S ≡ B
Tidak ada komentar:
Posting Komentar